E' nato a Nizza, dove risiede, il 18 settembre 1959. Internazionale dal 1992, manager di professione, ha come hobbies la pesca e l'equitazione. Dopo le prime direzioni di rilievo nelle fasi finali di tornei giovanili (Mondiali under 20 nel 1997 in Malaysia), si è imposto all'attenzione generale. A livello di club la sua massima direzione risale alla finale di coppa Uefa 2000/01, quando il Liverpool si impose 5-4 al golden gol sul Deportivo Alaves. A livello di nazionali prende parte per la seconda volta ad una fase finale degli Europei, ma ha anche partecipato alle finali dei Mondiali 2002 di Corea e Giappone dirigendo due gare, Argentina-Nigeria 1-0 e Giappone-Tunisia 2-0, entrambe nei gironi di prima fase. Agli Europei Belgio/Olanda 2000 ha arbitrato Portogallo-Romania 1-0 e Spagna-Jugoslavia 4-3, entrambe nei gironi di prima fase.
E'stato il quinto arbitro francese alle fasi finali degli Europei. In precedenza gli altri direttori francesi sono stati Wurtz (Germania-Olanda 3-2, gironi di prima fase nel 1980), Vautrot (Portogallo-Spagna 1-1 nei gironi di prima fase del 1984, Germania-Spagna 2-0 nei gironi di prima fase e Olanda-Urss 2-0, finalissima, nell'edizione 1988), Biguet (Germania-C.S.I. 1-1 nei gironi di prima fase del 1992), Batta (Croazia-Danimarca 3-0 nei gironi di prima fase e Inghilterra-Spagna 4-2 dopo rigori, nei quarti di finale dell'edizione 1996). Alla prossima gara che dirigerà, Veissiere eguaglierà per numero di presenze Vautrot, che vanta già 3 gettoni alle fasi finali (primatista tra i fischietti francesi) ed impatterà anche il numero di partecipazioni: 2, sempre come Vautrot (anche in questo caso re degli arbitri transalpini). Chiusura con il bilancio: 9 le gare dirette da arbitri francesi nelle quali si sono registrate 6 vittorie e 3 pareggi.
I due collaboratori di Veissiere saranno Frederic Arnault, nato il 30 aprile 1961 ed internazionale dal 1997, e Serge Vallin, nato il 27 gennaio 1960 ed internazionale dal 1999.